Hulkade kasutamine

Kahe antud hulga A ja B ühisosaks nimetatakse hulka, mis koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest. Hulkade ühisosa tähistatakse sümboliga ∩.

Kui hulkadel ühiseid elemente ei ole, siis öeldakse, et nende hulkade ühisosa on tühi hulk. Tühja hulga tähis on Ø.

Kui kahest hulgast A ja B moodustame uue hulga nii, et võtame sellesse hulga A kõik elemendid ja lisaks veel hulgast B need, mis hulgas A ei esine, siis öeldakse, et saadud hulk on hulkade A ja B ühend. Hulkade ühendit tähistatakse sümboliga U.

Ülesanne.

Kooli viiendates klassides oli kokku 70 õpilast. Õpilastel soovitati astuda matemaatika-, kirjandus- ja ajalooringi. Matemaatikaringi registreerus 51 õpilast, kirjandusringi 40 õpilast ja ajalooringi 22 õpilast. 6 õpilast otsustas osa võtta kõigi kolme ringi tööst, matemaatika ja kirjandusega otsustas tegeleda 32 õpilast, matemaatika ja ajalooga 11 õpilast, kirjanduse ja ajalooga aga 8 õpilast.

Kui need andmed olid selgunud, ütles üks klassivanematest: “Võiks arvata, et meil on viiendates klassides mitte 70 õpilast, vaid 170 ja kõik tahavad töötada mõnes ringis.” Seepeale vastas üks terane matemaatikahuviline: “See pole sugugi nii. Nende andmete korral on meie hulgas isegi selliseid õpilasi, kes ei taha astuda ühtegi ringi. Ma võin sulle öelda, mitu neid on.”

Kuida ta seda teada sai?

Tähistame ülesandes esinevad hulgad järgmiselt:

A – kõikide viiendate klasside õpilaste hulk,

B – matemaatikaringi astunud õpilaste hulk,

C – kirjandusringi astunud õpilaste hulk,

D – ajalooringi astunud õpilaste hulk.

Ülesande andmetest nähtub, et nendel hulkadel peab leiduma ühisosi. Hulkade B, C ja D ühisosas (B∩C∩D) on 6 elementi. Hulkade B ja C ühisosas (B∩C) on 32 elementi, millest 6 elementi kuulub ka hulka D (vaata joonist). Nüüd saame arvutada, mitu õpilast registreerus nii matemaatika- kui ka kirjandusringi. 32-6=26 õpilast. Hulkade B ja D ühisosas (B∩D) on 11 elementi, millest 6 elementi kuulub ka hulka C; järelikult registreerus matemaatika- ja ajalooringi kummassegi 11-6=5 õpilast. Nüüd on lihtne leida, mitu õpilast registreerus ainult ühte ringi: matemaatikaringi 51-(6+26+5)=14 õpilast; kirjandusringi 40-(6+26+2)=6 õpilast; ajalooringi 22-(6+5+2)=9 õpilast. Kokku registreerus ringidesse 14+6+9+26+5+6+2=68 õpilast. Järelikult oli viiendates klassides 2 niisugust õpilast, kes ei soovinud astuda ühtegi nendest ringidest.